2012 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

记 $P = 3 x^{2} y$ 、 $Q = x^{3} + x - 2 y$ ，则 $Q_{x} - P_{y} = (3 x^{2} + 1) - 3 x^{2} = 1$ ，两函数在全平面光滑。
原路径先沿圆心 $(1, 0)$ 、半径 $1$ 的上半圆，从 $(0, 0)$ 到 $(2, 0)$ ，再沿半径 $2$ 的第一象限圆弧到 $(0, 2)$ 。补上从 $(0, 2)$ 沿 $y$ 轴到 $(0, 0)$ 的线段 $L_{0}$ ，闭路 $L + L_{0}$ 所围区域 $D$ 是第一象限大圆内、小圆外的部分。沿各段行进时该区域均在左侧，故闭路为正向。
由格林公式，闭路积分等于 $∣ D ∣$ 。小半圆盘整个包含在大四分之一圆盘内，其面积可相减，得

∣ D ∣ = \frac{1}{4} π \cdot 2^{2} - \frac{1}{2} π \cdot 1^{2} = \frac{π}{2} .

补线上 $x = 0$ 、 $d x = 0$ 、 $Q = - 2 y$ ，方向为 $y : 2 \to 0$ ，所以

\int_{L_{0}} P d x + Q d y = \int_{2}^{0} (- 2 y) d y = [- y^{2}]_{2}^{0} = 4.

因此原积分 $I = \oint_{L + L_{0}} - \int_{L_{0}} = \frac{π}{2} - 4$ 。

答案