由 $x^2+y^2\le y$ 可知 $0\le y\le 1$，故根式在 $D$ 上有定义。令 $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$，则区域对应于 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$、$0\le r\le \sin \theta$，从而 $|D|=\frac{1}{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}{\sin }^2\theta \mathrm{d}\theta =\frac{\pi }{8}$。

记 $I={\iint }_{D}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$，$J={\iint }_D\sqrt{1-u^2-v^2}\mathrm{d}u\mathrm{d}v$。对原式在 $D$ 上积分，得 $I=J-\frac{\pi }{8}|D|I$，即 $(1+\frac{{\pi }^2}{64})I=J$。

利用极坐标并注意 $0\le \theta \le \frac{\pi }{2}$，有

因而 $I=\frac{32(3\pi -4)}{9(64+{\pi }^2)}$。

代回得

该函数连续，且在 $D$ 上的积分恰为上述 $I$，所以满足原式。由于 $1+\frac{{\pi }^2}{64}>0$，$I$ 及 $f$ 均唯一。