2017 · 数学一 · 第 19 题 · 解答题

设薄片型物体

S

是圆锥面

z = x^{2} + y^{2}

被柱面

z^{2} = 2 x

割下的有限部分，其上任一点的密度为

μ = 9 x^{2} + y^{2} + z^{2}

，记圆锥面与柱面的交线为

C

。

(1) 求 $C$ 在 $x O y$ 面上的投影曲线的方程；
(2) 求 $S$ 的质量 $M$ 。

答案

第 1 问

${(x - 1)^{2} + y^{2} = 1, z = 0.$

第 2 问

$64$

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第 1 问

交线满足 $z = x^{2} + y^{2}$ 、 $z^{2} = 2 x$ ，消去 $z$ 得 $x^{2} + y^{2} = 2 x$ 。该圆上的点均满足 $x \geq 0$ ，取 $z = x^{2} + y^{2}$ 可还原交线，因此投影是整个圆。
在 $x y$ 平面内，投影曲线的方程为 $x^{2} + y^{2} = 2 x$ 、 $z = 0$ ，也即 $(x - 1)^{2} + y^{2} = 1$ 、 $z = 0$ 。

第 2 问

有限锥面片的投影为 $D : x^{2} + y^{2} \leq 2 x$ 。在原点外， $z_{x} = \frac{x}{x ^{2} + y ^{2}}$ 、 $z_{y} = \frac{y}{x ^{2} + y ^{2}}$ ，故 $z_{x}^{2} + z_{y}^{2} = 1$ ，面积元 $d S = 2 d x d y$ 。锥顶是零面积的单点，不影响积分。
由锥面上 $z^{2} = x^{2} + y^{2}$ ，密度为 $μ = 92 x^{2} + y^{2}$ ，因此

M = 18 \iint_{D} x^{2} + y^{2} d x d y .

用极坐标 $x = r cos θ$ 、 $y = r sin θ$ ，区域为 $- \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}$ 、 $0 \leq r \leq 2 cos θ$ ，得

M = 18 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{2 c o s θ} r^{2} d r = 48 \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} cos^{3} θ d θ = 96 [sin θ - \frac{sin ^{3} θ}{3}]_{0}^{\frac{π}{2}} = 64.