（1）先确定$y(0)$。将右侧的$x$提出积分号，原方程为$G(x+y)=x{\int }_0^x\sin (t^2)\mathrm{d}t$，其中$G(u)={\int }_0^u{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$。令$x=0$得$G(y(0))=0$。因$G^{\prime }(u)=e^{-u^2}>0$，$G$严格递增，且$G(0)=0$，所以$y(0)=0$。
（2）对原方程两端求关于$x$的导数，左侧用链式法则，右侧用乘积法则，得到

代入$x=0$与$y(0)=0$，有$1+y^{\prime }(0)=0$，故$y^{\prime }(0)=-1$。右侧求导不能漏掉积分项，左侧不能漏掉上限导数$1+y^{\prime }$。

令$G(u)={\int }_0^u{e}^{-t^2}\mathrm{d}t$，由$G$严格递增及原方程知$y(0)=0$。又$G^{\prime }(0)=1$，故$G(u)=u+o(u)$，从而在$u=0$附近有$|u|\le 2|G(u)|$。当$x\to 0$时，$\sin (t^2)=t^2+o(t^2)$给出

由$y$连续知$u=x+y(x)\to 0$，再由原方程$G(u)=O(x^4)$和上述估计得$u=O(x^4)$，即$y(x)=-x+O(x^4)$。因此$y^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[y(x)-y(0)]}{x}=-1$。