由图，$0\le t\le \frac{\pi }{2}$，且 $S_1={\int }_0^t(\sin t-\sin x)\mathrm{d}x$，$S_2={\int }_t^{\frac{\pi }{2}}(\sin x-\sin t)\mathrm{d}x$。

故 $S(t)=2\cos t-1+(2t-\frac{\pi }{2})\sin t$，从而 $S^{\prime }(t)=(2t-\frac{\pi }{2})\cos t$。

在 $[0,\frac{\pi }{2})$ 上 $\cos t>0$，所以 $S$ 在 $[0,\frac{\pi }{4}]$ 上递减、在 $[\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{2}]$ 上递增，最小值在 $t=\frac{\pi }{4}$ 处取得。

由上一问的单调性，最大值只能在端点 $t=0$ 或 $t=\frac{\pi }{2}$ 处取得。

$S(0)=1$，而 $S(\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}-1<1$，故最大值在 $t=0$ 处取得。