2015 · 数学一 · 第 2 题 · 选择题

（1）右端只有 $e^{x}$ ，给定解中的 $e^{2 x}$ 项代入左端后的系数必须为零； $x e^{x}$ 项的系数也必须为零。这分别对应 $2$ 、 $1$ 为特征根。下面直接求导比较系数，说明这一判断的依据。
由 $y = \frac{e ^{2 x}}{2} + (x - \frac{1}{3}) e^{x}$ ，得

y^{'} y^{''} = e^{2 x} + (x + \frac{2}{3}) e^{x}, = 2 e^{2 x} + (x + \frac{5}{3}) e^{x} .

代入含参数的方程，整理为

y^{''} + a y^{'} + b y = (2 + a + \frac{b}{2}) e^{2 x} + [(1 + a + b) x + \frac{( 5 + 2 a - b )}{3}] e^{x} .

除以非零的 $e^{x}$ 后， $e^{x}, x, 1$ 线性无关，所以 $4 + 2 a + b = 0$ 、 $1 + a + b = 0$ ，解得 $a = - 3, b = 2$ 。等价地，特征多项式为 $(r - 1) (r - 2) = r^{2} - 3 r + 2$ 。
（2）常数项给出 $c = \frac{( 5 + 2 a - b )}{3} = - 1$ 。也可将已定系数代回直接核对：

y^{''} - 3 y^{'} + 2 y = (2 - 3 + 1) e^{2 x} + [(x + \frac{5}{3}) - 3 (x + \frac{2}{3}) + 2 (x - \frac{1}{3})] e^{x} = - e^{x} .

故 $a = - 3, b = 2, c = - 1$ ，选 A。B、D 的 $a$ 符号错误，C 的 $c$ 符号错误。

答案