2007 · 数学二 · 第 7 题 · 选择题

二元函数

f (x, y)

在点

(0, 0)

处可微的一个充分条件是（　　）。

A
$(x, y) \to (0, 0) lim [f (x, y) - f (0, 0)] = 0$
B
$x \to 0 lim \frac{f ( x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{x} = 0$ 且 $y \to 0 lim \frac{f ( 0 , y ) - f ( 0 , 0 )}{y} = 0$
C
$(x, y) \to (0, 0) lim \frac{f ( x , y ) - f ( 0 , 0 )}{x ^{2} + y ^{2}} = 0$
正确答案
D
$x \to 0 lim [f_{x}^{'} (x, 0) - f_{x}^{'} (0, 0)] = 0$ 且 $y \to 0 lim [f_{y}^{'} (0, y) - f_{y}^{'} (0, 0)] = 0$

答案

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记 $r = x^{2} + y^{2}$ 。选项 C 给出的条件等价于

f (x, y) - f (0, 0) = o (r) = 0 \cdot x + 0 \cdot y + o (r), (x, y) \to (0, 0) .

这正是二元函数在原点可微的定义，其一阶线性主部为零，故 $f_{x} (0, 0) = f_{y} (0, 0) = 0$ 。余项是比距离 $r$ 高阶的无穷小，而不是与 $r$ 同阶的无穷小。因此 C 是充分条件。