令 $u=\arctan x$、$\mathrm{d}v=x^{-2}\mathrm{d}x$，则 $\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}$、$v=-\frac{1}{x}$。因此

$$I={\left[-\frac{\arctan x}{x}\right]}_1^{+\infty }+{\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x(1+x^2)}.$$

边界项为 $\frac{\pi }{4}$。又有

$$\frac{1}{x(1+x^2)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2},$$

所以

$${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}x}{x(1+x^2)}={\left[\ln x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)\right]}_1^{+\infty }=\frac{1}{2}\ln 2.$$

故积分收敛且 $I=\frac{\pi }{4}+\frac{1}{2}\ln 2$。