按正弦函数变号的位置分段，记 $A_1={\int }_0^{\pi }{e}^{x^2}\sin x\mathrm{d}x$、$A_2={\int }_{\pi }^{2\pi }{e}^{x^2}\sin x\mathrm{d}x$、$A_3={\int }_{2\pi }^{3\pi }{e}^{x^2}\sin x\mathrm{d}x$。则 $I_1=A_1$，$I_2=A_1+A_2$，$I_3=A_1+A_2+A_3$。
因为指数因子为正，正弦在三段内部依次为正、负、正，所以 $A_1>0,A_2<0,A_3>0$。立即得到 $I_2-I_1=A_2<0$，即 $I_2<I_1$。
还需比较 $I_3$ 与 $I_1$，仅凭三段符号不能完成这一步。在 $A_3$ 中令 $x=u+\pi$，利用 $\sin (u+\pi )=-\sin u$，得到

对 $\pi <u<2\pi$，有 $(u+\pi {)}^2>u^2$，故方括号严格为正；又 $-\sin u>0$。被积函数在区间内部连续且严格为正，因此积分大于零，即 $I_3>I_1$。
综上，$I_2<I_1<I_3$，选 D。A 与 $I_2<I_1$ 矛盾；B 与 $I_3-I_2=A_3>0$ 矛盾；C 与刚证出的 $I_3>I_1$ 矛盾。