1995 · 数学一 · 第 9 题 · 选择题

设

u_{n} = (- 1)^{n} ln (1 + \frac{1}{n})

，则级数（　　）。

答案

查看解析展开

令 $a_{n} = ln (1 + \frac{1}{n})$ 。数列 $a_{n}$ 单调递减且趋于 $0$ ，故交错级数 $\sum (- 1)^{n} a_{n}$ 收敛。

又

n \to \infty lim \frac{a _{n}^{2}}{\frac{1}{n}} = n \to \infty lim \frac{ln ( 1 + \frac{1}{n} )}{\frac{1}{n}}^{2} = 1,

所以 $\sum u_{n}^{2} = \sum a_{n}^{2}$ 与调和级数同敛散，因而发散。选择 C。