记 $p=y^{\prime }$。法线与 $x$ 轴的交点到 $P$ 的水平距离绝对值为 $|py|$，故在 $y>0$ 时 $PQ=y\sqrt{1+p^2}$。向上凹曲线的曲率为 $\frac{y^{\prime \prime }}{(1+p^2{)}^{\frac{3}{2}}}$。

由题意

由于 $y>0$，沿曲线直接求导可得

因此 $1+p^2=C{y}^2$。初值 $y(1)=1,p(1)=0$ 给出 $C=1$。

将 $1+p^2=y^2$ 代回 $y{y}^{\prime \prime }=1+p^2$，由 $y>0$ 得 $y^{\prime \prime }=y$。其通解为 $y=A{\mathrm{e}}^{x-1}+B{\mathrm{e}}^{-(x-1)}$，初值给出 $A+B=1$、$A-B=0$，所以 $y=\cosh (x-1)$。该解恒正，且 $y^{\prime \prime }=y>0$，满足向上凹条件。