令 $Z_i=X_i+X_{n+i}$，则 $Z_1,\dots ,Z_n$ 相互独立且均服从 $N(2\mu ,2{\sigma }^2)$。又 $\overline{Z}=n^{-1}\sum _{i=1}^n{Z}_i=2\overline{X}$。

因此 $Y=\sum _{i=1}^n(Z_i-\overline{Z}{)}^2$。对于方差为 $2{\sigma }^2$ 的 $n$ 个独立同分布变量，离均差平方和的期望为 $(n-1)2{\sigma }^2$，故 $E(Y)=2(n-1){\sigma }^2$。