1997 · 数学三 · 第 15 题 · 解答题

从点

P_{1} (1, 0)

作

x

轴的垂线，交抛物线

y = x^{2}

于点

Q_{1} (1, 1)

；再从

Q_{1}

作这条抛物线的切线与

x

轴交于

P_{2}

，然后又从

P_{2}

作

x

轴的垂线，交抛物线于

Q_{2}

，依次重复上述过程得到一系列的点

P_{1}, Q_{1}; P_{2}, Q_{2}; \dots; P_{n}, Q_{n}; \dots

。其中

n \geq 1

为自然数，而

M_{1} M_{2}

表示点

M_{1}

与

M_{2}

之间的距离。

答案

$O P_{n} = 2^{1 - n}$

$\frac{4}{3}$

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设 $P_{n} = (a_{n}, 0)$ ，则 $Q_{n} = (a_{n}, a_{n}^{2})$ 。抛物线在 $Q_{n}$ 处的切线为 $y = 2 a_{n} x - a_{n}^{2}$ 。

令 $y = 0$ ，得该切线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $\frac{a _{n}}{2}$ ，所以 $a_{n + 1} = \frac{a _{n}}{2}$ 。由 $a_{1} = 1$ ，得 $a_{n} = 2^{1 - n}$ 。

各点位于正半轴，故 $O P_{n} = a_{n} = 2^{1 - n}$ 。

沿用第一问的横坐标 $a_{n}$ 及其表达式。线段 $Q_{n} P_{n}$ 为竖直线段，其长度为 $a_{n}^{2} = 4^{1 - n}$ 。

因此所求级数为首项 $1$ 、公比 $\frac{1}{4}$ 的几何级数，和为

n = 1 \sum \infty 4^{1 - n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{4}{3} .