（1）求轨迹。令 $F=x^2+y^2+z^2-yz-1$，法向量为 $\nabla F=(2x,2y-z,2z-y)$。若梯度为零，则 $x=y=z=0$，不在椭球面上，因此该曲面处处正则。切平面与 $xy$ 平面垂直，等价于其法向量与 $(0,0,1)$ 垂直，即 $F_z=2z-y=0$。代入曲面方程，得

（2）确定上片与投影。将曲面方程看作关于 $z$ 的二次方程，得

上片 $\Sigma$ 取正号，投影区域为椭圆盘 $D:x^2+\frac{3y^2}{4}\le 1$，两片在 $C$ 上相接。
（3）化投影积分。在 $D$ 的内部，上片满足 $F_z=2z-y>0$，隐函数求导给出 $z_x=-\frac{F_x}{F_z}$、$z_y=-\frac{F_y}{F_z}$，因此

在曲面上利用 $x^2+y^2+z^2-yz=1$，有

分母恰为 $|\nabla F|$，故内部的被积表达式与面积元相乘后化为 $(x+\sqrt{3})\mathrm{d}x\mathrm{d}y$。边界曲线 $C$ 上虽有 $F_z=0$，但不能在那里直接相除；$C$ 的曲面面积为零，原被积函数在光滑紧致椭球面上连续，故可先在内部截取后取极限，得到整个曲面积分

$D$ 关于 $y$ 轴对称，$x$ 项积分为零。椭圆半轴为 $1,\frac{2}{\sqrt{3}}$，面积为 $\frac{2\pi }{\sqrt{3}}$，所以 $I=\sqrt{3}\cdot \frac{2\pi }{\sqrt{3}}=2\pi$。