令 $L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}\ln \frac{\sin x}{x}$。分子、分母都趋于 $0$，用一次洛必达法则得

$$\begin{array}{rl}L& \\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cot x-\frac{1}{x}}{2x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\cos x-\sin x}{2x^2\sin x}\end{array}$$

。

再次使用洛必达法则，

$$\begin{array}{rl}L& =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-x\sin x}{4x\sin x+2x^2\cos x}\\ & =\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\sin x}{4\sin x+2x\cos x}\\ & =-\frac{1}{6}.\end{array}$$