先设 $a>0,b>0$。在任一不跨越 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）的区间内，令 $t=\tan x$，则 $\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}t}{(1+t^2)}$，且

因而

代回 $t=\tan x$。这个反正切表达式是局部原函数；当 $a,b>0$ 时，原被积函数在全实轴上连续，跨越正切换元的分界点时，应调整相邻区间的积分常数并连续拼接。

若 $a=0,b>0$，则被积函数为 $b^{-2}{\sec }^{2}x$，原函数为 $b^{-2}\tan x+C$。若 $a>0,b=0$，则被积函数为 $a^{-2}{\csc }^{2}x$，原函数为 $-a^{-2}\cot x+C$。这三种情形覆盖题设中所有不全为零的非负参数。当 $a=0$ 时公式用于 $\cos x\ne 0$ 的各区间；当 $b=0$ 时用于 $\sin x\ne 0$ 的各区间。