1991 · 数学一 · 第 21 题 · 填空题

随机地向半圆

0 < y < 2 a x - x^{2}

（

a

为正常数）内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比。则原点和该点的连线与

x

轴的夹角小于

\frac{π}{4}

的概率为。

答案

$\frac{1}{2} + \frac{1}{π}$

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半圆满足 $(x - a)^{2} + y^{2} < a^{2}, y > 0$ 。以原点为极点，有 $0 < θ < \frac{π}{2}$ 、 $0 < r < 2 a cos θ$ 。

事件为 $0 < θ < \frac{π}{4}$ ，其面积为

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{1}{2} (2 a cos θ)^{2} d θ = a^{2} (\frac{π}{4} + \frac{1}{2}) .

半圆总面积为 $π \frac{a ^{2}}{2}$ ，故所求概率为 $\frac{π + 2}{2 π} = \frac{1}{2} + \frac{1}{π}$ 。