2001 · 数学二 · 第 18 题 · 解答题

设

f (x)

在区间

[- a, a] (a > 0)

上具有二阶连续导数，

f (0) = 0

。

(1) 写出 $f (x)$ 的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；
(2) 证明在 $[- a, a]$ 上至少存在一点 $η$ ，使 $a^{3} f^{''} (η) = 3 \int_{- a}^{a} f (x) d x$ 。

答案

$f (x) = f^{'} (0) x + \frac{1}{2} f^{''} (ξ) x^{2}$ ；当 $x \neq = 0$ 时， $ξ$ 严格位于 $0$ 与 $x$ 之间；当 $x = 0$ 时可取 $ξ = 0$ 。

证明见解析

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由带拉格朗日余项的泰勒公式，对每个 $x \in [- a, a] ∖ {0}$ ，存在位于 $0$ 与 $x$ 之间的 $ξ$ ，使

f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{1}{2} f^{''} (ξ) x^{2} .

由于 $f (0) = 0$ ，即 $f (x) = f^{'} (0) x + \frac{1}{2} f^{''} (ξ) x^{2}$ 。当 $x = 0$ 时取 $ξ = 0$ ，上述等式也成立。

使用泰勒公式的积分余项，对任意 $x \in [- a, a]$ 有

f (x) = x f^{'} (0) + x^{2} \int_{0}^{1} (1 - t) f^{''} (t x) d t .

在 $[- a, a]$ 上积分。由于 $x f^{'} (0)$ 为奇函数，其积分为零，故

\int_{- a}^{a} f (x) d x = \int_{- a}^{a} \int_{0}^{1} x^{2} (1 - t) f^{''} (t x) d t d x .

权函数 $x^{2} (1 - t)$ 非负，且 $f^{''}$ 连续。由加权积分中值定理，存在 $η \in [- a, a]$ ，使右端等于

f^{''} (η) \int_{- a}^{a} x^{2} d x \int_{0}^{1} (1 - t) d t = \frac{a ^{3}}{3} f^{''} (η) .

因此 $a^{3} f^{''} (η) = 3 \int_{- a}^{a} f (x) d x$ 。