$\lambda =-2$

$\lambda \ne -2,1$

$\lambda =1$

$(x_1,x_2,x_3{)}^T=(-2,0,0{)}^T+c_1(-1,1,0{)}^T+c_2(-1,0,1{)}^T,c_1,c_2\in \mathbb{R}$

系数矩阵可写为 $A=(\lambda -1)E+J$，其中 $J$ 为全 $1$ 矩阵。因此

只有 $\lambda =1$ 或 $\lambda =-2$ 时可能不唯一。

当 $\lambda =-2$ 时，系数矩阵每行元素之和为 $0$，左零向量可取 $(1,1,1{)}^T$。右端向量为 $(-5,-2,-2{)}^T$，其分量和为 $-9\ne 0$，不满足相容条件，故方程组无解。

由第一问知， $|A|=(\lambda -1{)}^2(\lambda +2)$，当且仅当 $\lambda \ne 1,-2$ 时系数矩阵可逆。因此此时方程组有唯一解。

当 $\lambda =1$ 时，三条方程均化为

此时系数矩阵与增广矩阵的秩均为 $1<3$，故有无穷多解。结合第一问中 $\lambda =-2$ 时无解及第二问的唯一解条件，可知有无穷多解当且仅当 $\lambda =1$。

由第三问，无穷多解对应 $\lambda =1$。在 $\lambda =1$ 时，导出组为 $x_1+x_2+x_3=0$。它的一个基础解系为

非齐次方程组的一个特解为 $x^{(0)}=(-2,0,0{)}^T$。因此全部解为