1994 · 数学三 · 第 14 题 · 解答题

设函数

f (x)

可导，且

f (0) = 0

，

F (x) = \int_{0}^{x} t^{n - 1} f (x^{n} - t^{n}) d t

，求

x \to 0 lim \frac{F ( x )}{x ^{2 n}}

。

答案

$\frac{f ^{'} ( 0 )}{2 n}$

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令 $u = t^{n}$ ，则 $t^{n - 1} d t = \frac{1}{n} d u$ 。再令 $v = x^{n} - u$ ，可得

F (x) = \frac{1}{n} \int_{0}^{x^{n}} f (v) d v .

因为 $f (0) = 0$ 且 $f$ 在零点可导，所以 $f (v) = f^{'} (0) v + o (v)$ 。于是

F (x) = \frac{1}{n} (\frac{f ^{'} ( 0 )}{2} x^{2 n} + o (x^{2 n})),

从而

x \to 0 lim \frac{F ( x )}{x ^{2 n}} = \frac{f ^{'} ( 0 )}{2 n} .