2003 · 数学三 · 第 22 题 · 解答题

设随机变量

X

与

Y

独立，

Y

的概率密度为

f (y)

，

X

的概率分布见下表。求

U = X + Y

的概率密度

g (u)

。

$X$	$1$	$2$
$P$	$0.3$	$0.7$

答案

$g (u) = 0.3 f (u - 1) + 0.7 f (u - 2)$

对 $X$ 的两个可能取值分别条件化。若 $X = 1$ ，则 $U = 1 + Y$ 的条件密度为 $f (u - 1)$ ；若 $X = 2$ ，则条件密度为 $f (u - 2)$ 。

利用 $X$ 与 $Y$ 独立以及 $P (X = 1) = 0.3$ 、 $P (X = 2) = 0.7$ ，得 $g (u) = 0.3 f (u - 1) + 0.7 f (u - 2)$ 。