设围成圆、正方形、正三角形的三段长度分别为 $x,y,z$ 米，实际要求 $x,y,z>0$ 且 $x+y+z=2$。圆半径为 $\frac{x}{(2\pi )}$，正方形边长为 $\frac{y}{4}$，正三角形边长为 $\frac{z}{3}$，故面积和为

先把可行集扩展为允许 $x,y,z\ge 0$ 的闭三角形，连续函数 $S$ 在此紧集上有最小值；最后若最优三段均为正，就仍是原问题的最小值。
内部候选点由 $L=S+\lambda (x+y+z-2)$ 给出。令 $t=-\lambda$，一阶条件为 $\frac{x}{(2\pi )}=\frac{y}{8}=\frac{\sqrt{3}z}{18}=t$，故 $x=2\pi t,y=8t,z=6\sqrt{3}t$。由总长条件，$t=\frac{1}{A}$，其中 $A=\pi +4+3\sqrt{3}$。因此候选长度为

均为正，其面积和为 $S=\frac{A}{A^2}=\frac{1}{A}$。
边界也需比较。由二项柯西不等式 $\frac{a^2}{\alpha }+\frac{b^2}{\beta }\ge \frac{(a+b{)}^2}{(\alpha +\beta )}$，在 $z=0,y=0,x=0$ 的三条边上，最小面积和依次为

它们都严格大于 $\frac{1}{A}$，故扩展可行集的最小值在上述正长度点取得，也符合原问题要求。最小面积和存在，为 $\frac{1}{(\pi +4+3\sqrt{3})}$ 平方米。

仍设三段周长为 $x,y,z>0$，$x+y+z=2$。由圆、正方形及正三角形的面积公式，

由柯西不等式，

等号条件为 $\frac{x}{(4\pi )}=\frac{y}{16}=\frac{z}{(12\sqrt{3})}$，结合总长 $2$，得到三段长度依次为 $\frac{2\pi }{A}$、$\frac{8}{A}$、$\frac{6\sqrt{3}}{A}$，其中 $A=\pi +4+3\sqrt{3}$。三者均为正且和为 $2$，所以等号可达，直接证明原问题确有最小值，且为 $\frac{1}{A}$ 平方米。