令 $u=\frac{x}{y}$，则 $z=(1+u{)}^u$，点 $(1,1)$ 对应 $u=1$。在该点附近 $y\ne 0$、$1+u>0$，相关函数可微，故可以用复合函数微分法。
（1）对 $\ln z=u\ln (1+u)$ 求导，得

在 $u=1$ 时，$z=2$，因此 $\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}=2(\ln 2+\frac{1}{2})=2\ln 2+1$。
（2）由 $u=\frac{x}{y}$，得 $\mathrm{d}u=\frac{\mathrm{d}x}{y}-\frac{x\mathrm{d}y}{y^2}$，在 $(1,1)$ 处为 $\mathrm{d}x-\mathrm{d}y$。由链式法则，

在 $(1,1)$ 附近，将幂指函数写成 $z=\exp [(\frac{x}{y})\ln (1+\frac{x}{y})]$。记 $u=\frac{x}{y}$，直接对指数求偏导，得到

代入 $(x,y)=(1,1)$，得 $z_x=1+2\ln 2$、$z_y=-(1+2\ln 2)$。两偏导在附近连续，故全微分为 $z_x\mathrm{d}x+z_y\mathrm{d}y=(1+2\ln 2)(\mathrm{d}x-\mathrm{d}y)$。