曲率圆的圆心为 $(0,0)$，曲线点为 $(1,1)$，半径方向与切线垂直，故 $f^{\prime }(1)=-1$。

图形 $y=f(x)$ 的曲率圆心为 $\left(x-\frac{f^{\prime }(1+f^{\prime 2})}{f^{\prime \prime }},y+\frac{1+f^{\prime 2}}{f^{\prime \prime }}\right)$。代入圆心 $(0,0)$、点 $(1,1)$ 和 $f^{\prime }(1)=-1$，得 $f^{\prime \prime }(1)=-2$。

因 $f^{\prime \prime }$ 不变号，$f^{\prime }$ 在 $(1,2)$ 上不增且为负，所以没有极值点。又 $f(1)=1$，并且 $f^{\prime }(x)\le -1$ 且在 $1$ 的右邻域严格小于 $-1$，从而 $f(2)<0$。由介值定理，区间内有零点，故选 B。