令$\Phi (x)={\int }_0^{x}f(t)\mathrm{d}t$。由$f$连续，$\Phi$在$[0,1]$连续、在$(0,1)$可导，且${\Phi }^{\prime }=f$。对$\Phi$使用拉格朗日中值定理，存在$c\in (0,1)$，使$f(c)=\Phi (1)-\Phi (0)={\int }_0^{1}f(t)\mathrm{d}t=1=f(1)$。再对$f$在$[c,1]$使用罗尔定理，存在$\xi \in (c,1)\subset (0,1)$，使$f^{\prime }(\xi )=0$。

（1）取$M={\max }_{[0,1]}f(x)$。因$f(1)=1$，有$M\ge 1$。若$M=1$，则$1-f(x)\ge 0$且连续，而${\int }_0^1[1-f(x)]\mathrm{d}x=0$，故$1-f(x)$在整个区间恒为零，与$f(0)=0$矛盾。因此$M>1$。
（2）设$f(x_0)=M$。由于两端点值$0,1$都小于$M$，知$x_0\in (0,1)$。由费马定理，$f^{\prime }(x_0)=0$。以$x_0$为展开中心，在端点$0$处使用带拉格朗日余项的泰勒公式，存在$\eta \in (0,x_0)$，使

所以$f^{\prime \prime }(\eta )=-\frac{2M}{x_0^2}$。因$M>1$且$0<x_0^2<1$，有$f^{\prime \prime }(\eta )<-2$，且$\eta \in (0,1)$，得证。这里选择最大值点，是为了同时掌握导数为零和函数值大于$1$两个条件。