2016 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设总体

X

的概率密度为

f (x, θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{3 x ^{2}}{θ ^{3}}, 0, 0 < x < θ, 其他,

其中

θ \in (0, + \infty)

为未知参数，

X_{1}, X_{2}, X_{3}

为来自总体

X

的简单随机样本，令

T = max {X_{1}, X_{2}, X_{3}}

。

(1) 求 $T$ 的概率密度；
(2) 确定 $a$ ，使得 $a T$ 为 $θ$ 的无偏估计。

答案

第 1 问

$f_{T} (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{9 t ^{8}}{θ ^{9}}, 0, 0 < t < θ, 其他 .$

第 2 问

$a = \frac{10}{9}$ 。

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第 1 问

总体的分布函数为

F (x) = ⎩ ⎨ ⎧ 0, \frac{x ^{3}}{θ ^{3}}, 1, x \leq 0, 0 < x < θ, x \geq θ .

其中中间一段由 $\int_{0}^{x} \frac{3 u ^{2}}{θ ^{3}} d u = \frac{x ^{3}}{θ ^{3}}$ 得到。最大值不超过 $t$ 等价于三个样本值都不超过 $t$ ，由样本独立性， $F_{T} (t) = \prod_{i = 1}^{3} P (X_{i} \leq t) = [F (t)]^{3}$ 。所以在 $0 < t < θ$ 上 $F_{T} (t) = \frac{t ^{9}}{θ ^{9}}$ ，在 $t \leq 0$ 时为零，在 $t \geq θ$ 时为一。求导得 $f_{T} (t) = \frac{9 t ^{8}}{θ ^{9}}$ （ $0 < t < θ$ ），其余处可取零。

第 2 问

由第一问，

E (T) = \int_{0}^{θ} t \frac{9 t ^{8}}{θ ^{9}} d t = \frac{9}{θ ^{9}} [\frac{t ^{10}}{10}]_{0}^{θ} = \frac{9}{10} θ .

故 $E (a T) = \frac{9 a}{10} θ$ 。要求对所有 $θ > 0$ 等于 $θ$ ，得 $a = \frac{10}{9}$ 。