2003 · 数学三 · 第 4 题 · 填空题

设

n

维向量

α = (a, 0, \dots, 0, a)^{T}, a < 0

，

A = E - α α^{T}

，

B = E + \frac{1}{a} α α^{T}

，且

A^{- 1} = B

，则

a =

。

答案

$- 1$

解析

由 $α = (a, 0, \dots, 0, a)^{T}$ ，有 $α^{T} α = 2 a^{2}$ 。

计算 $A B = (E - α α^{T}) (E + \frac{1}{a} α α^{T}) = E + (\frac{1}{a} - 1 - 2 a) α α^{T}$ 。

因 $a < 0$ 而 $α α^{T} \neq = 0$ ，故 $A B = E$ 要求 $\frac{1}{a} - 1 - 2 a = 0$ ，即 $2 a^{2} + a - 1 = 0$ 。根为 $a = \frac{1}{2}, - 1$ ，结合 $a < 0$ 得 $a = - 1$ 。