1991 · 数学三 · 第 11 题 · 解答题

求极限

x \to + \infty lim (x + 1 + x^{2})^{\frac{1}{x}}

。

答案

$1$

查看解析展开

令

y = (x + 1 + x^{2})^{\frac{1}{x}} .

当 $x > 0$ 时， $x + 1 + x^{2} > 1$ ，且 $1 + x^{2} < x + 1$ ，故

0 < ln y = \frac{ln ( x + 1 + x ^{2} )}{x} < \frac{ln ( 2 x + 1 )}{x} .

由于 $\frac{ln ( 2 x + 1 )}{x} \to 0$ ，夹逼得 $ln y \to 0$ ，从而

y \to e^{0} = 1.