$k(1,0,1{)}^T$，其中$k\ne 0$

$A=\frac{1}{6}\left(\begin{array}{ccc}13& -2& 5\\ -2& 10& 2\\ 5& 2& 13\end{array}\right)$

实对称矩阵属于不同特征值的特征向量相互正交。设特征值 $3$ 的特征向量为 $v=(a,b,c{)}^T$，则 $v^T{\alpha }_1=0$、$v^T{\alpha }_2=0$。

解方程 $-a-b+c=0$、$a-2b-c=0$，得 $b=0,c=a$。故全部非零特征向量为 $k(1,0,1{)}^T$，其中 $k\ne 0$。

由第一问，取 ${\alpha }_3=(1,0,1{)}^T$。三向量两两正交，且平方范数分别为 $3,6,2$。

由实对称矩阵的谱分解，

展开并合并得到

代入三个特征向量可分别得到 $1,2,3$ 倍原向量，完成核验。