（1）记$G(v)={\int }_0^{v}g(u)\mathrm{d}u$。由$g$连续知$G^{\prime }(v)=g(v)$，$G(0)=0$。当$x\ne 0$时，令$u=xt$，积分上下限由$0,x^2$变成$0,x^3$，故

该换元对负$x$同样成立。当$x=0$时，由原积分知$f(0)=0$。
（2）当$x\ne 0$时，使用商的求导法则和链式法则：

（3）在$x=0$处由导数定义计算。因为$G$在$0$可导，$\underset{v\to 0}{\lim }\frac{G(v)}{v}=G^{\prime }(0)=g(0)$，所以

因此

（4）由$g$在$0$连续，$\underset{x\to 0}{\lim }3xg(x^3)=0$；第（3）步已得$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{G(x^3)}{x^2}=0$。于是$\underset{x\to 0}{\lim }{f}^{\prime }(x)=0-0=0=f^{\prime }(0)$，故$f^{\prime }$在$0$处连续。
注意：题设未保证$g$可导，不能直接对$g(xt)$求关于$x$的导数；以上只用$G^{\prime }=g$，无需额外假设。