齐次方程的特征方程为 $(r+2{)}^2=0$，故齐次通解为 $y_h=(C_1+C_{2}x){\mathrm{e}}^{-2x}$。

当 $a\ne -2$ 时，设特解 $y_p=A{\mathrm{e}}^{ax}$。代入得 $(a+2{)}^{2}A=1$，所以 $y_p=\frac{{\mathrm{e}}^{ax}}{(a+2{)}^2}$。

记微分算子 $D=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}$。当 $a=-2$ 时，令 $y={\mathrm{e}}^{-2x}v$，则 $(D+2{)}^{2}y={\mathrm{e}}^{-2x}{v}^{\prime \prime }$。方程化为 $v^{\prime \prime }=1$，可取特解 $v_p=\frac{x^2}{2}$。因此