曲线为 $y=\frac{{\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}}{2}=\cosh x$，且 $y^{\prime }=\sinh x$。于是 $\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}=\sqrt{1+{\sinh }^{2}x}=\cosh x=y$。

因此体积和侧面积分别为 $V(t)=\pi {\int }_0^t{y}^2\mathrm{d}x$ 与 $S(t)=2\pi {\int }_0^{t}y\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}\mathrm{d}x=2\pi {\int }_0^t{y}^2\mathrm{d}x$。

所以 $\frac{S(t)}{V(t)}=2$。

在 $x=t$ 处旋转所得底面半径为 $y(t)=\cosh t$，所以 $F(t)=\pi {\cosh }^{2}t$。

沿用第一问的侧面积公式 $S(t)=2\pi {\int }_0^t{\cosh }^{2}x\mathrm{d}x$。由 ${\int }_0^t{\cosh }^{2}x\mathrm{d}x=\frac{t}{2}+\frac{\sinh 2t}{4}$，有 $\frac{S(t)}{F(t)}=\frac{t+\frac{1}{2}\sinh 2t}{{\cosh }^{2}t}=\frac{t}{{\cosh }^{2}t}+\tanh t$。

当 $t\to +\infty$ 时，$\frac{t}{{\cosh }^{2}t}\to 0$，且 $\tanh t\to 1$，故所求极限为 $1$。