1992 · 数学三 · 第 16 题 · 解答题

设曲线方程为

y = e^{- x}

（

x \geq 0

）。

(1) 把该曲线、 $x$ 轴、 $y$ 轴和直线 $x = ξ$ （ $ξ > 0$ ）所围成的平面图形绕 $x$ 轴旋转一周，求所得旋转体的体积 $V (ξ)$ ；
(2) 求满足 $V (a) = \frac{1}{2} ξ \to + \infty lim V (ξ)$ 的 $a$ ；
(3) 在曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大；
(4) 求上述平面图形的最大面积。

答案

$V (ξ) = \frac{π}{2} (1 - e^{- 2 ξ})$

$a = \frac{ln 2}{2}$

$(1, e^{- 1})$

$\frac{2}{e}$

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绕 $x$ 轴旋转所得截面半径为 $e^{- x}$ ，故

V (ξ) = π \int_{0}^{ξ} e^{- 2 x} d x = \frac{π}{2} (1 - e^{- 2 ξ}) .

由第一问的体积函数， $ξ \to + \infty lim V (ξ) = \frac{π}{2}$ 。由 $V (a) = \frac{π}{4}$ ，得 $1 - e^{- 2 a} = \frac{1}{2}$ ，所以 $a = \frac{ln 2}{2}$ 。

设切点为 $(t, e^{- t})$ ，其中 $t \geq 0$ 。切线为 $y = e^{- t} (t + 1 - x)$ ，与两坐标轴的截距分别为 $t + 1$ 和 $e^{- t} (t + 1)$ 。

所夹三角形面积为 $S (t) = \frac{1}{2} e^{- t} (t + 1)^{2}$ ，且

S^{'} (t) = \frac{1}{2} e^{- t} (t + 1) (1 - t) .

因此 $S$ 在 $[0, 1]$ 上递增、在 $[1, + \infty)$ 上递减，最大值在 $t = 1$ 处取得，切点为 $(1, e^{- 1})$ 。

由第三问求得的最优点和面积函数，将 $t = 1$ 代入面积函数，得到 $S_{m a x} = \frac{1}{2} e^{- 1} \cdot 4 = \frac{2}{e}$ 。