在条件 $X=0$ 下有 $Z=Y$，所以 $P\{Z\le \frac{1}{2}\mid X=0\}=P\{Y\le \frac{1}{2}\}=\frac{1}{2}$。

由独立性，$f_Z(z)=\sum _{i=-1}^{1}P\{X=i\}{f}_Y(z-i)=\frac{1}{3}\sum _{i=-1}^1{f}_Y(z-i)$。

三个平移后的均匀密度分别支撑在 $[-1,0]$、$[0,1]$、$[1,2]$，因此除端点取值无关外，$f_Z(z)=\frac{1}{3}$（$-1<z<2$），其他处为 $0$。