A 收敛。令 $a_n=\frac{n}{3^n}$，比值极限为

B 收敛。由 $\ln (1+\frac{1}{n})\sim \frac{1}{n}$，其正通项满足 $n^{-\frac{1}{2}}\ln (1+\frac{1}{n})\sim n^{-\frac{3}{2}}$，而 $p=\frac{3}{2}>1$ 的 $p$ 级数收敛，故由极限比较判别法收敛。
C 发散。分子在奇数项为零，在偶数项为 $2$，所以这是非负项级数。删去零项后为 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{2}{\ln (2k)}$，删零项不会改变敛散性。由于 $\ln (2k)<2k$，有 $\frac{2}{\ln (2k)}>\frac{1}{k}$，与调和级数比较可知发散。
D 收敛。令 $a_n=\frac{n!}{n^n}$，则

故由比值判别法收敛。只有 C 发散。