2021 · 数学三 · 第 10 题 · 选择题

设总体

X

的概率分布为

P (X = 1) = \frac{1 - θ}{2}

，

P (X = 2) = P (X = 3) = \frac{1 + θ}{4}

，利用来自总体的样本观察值

1, 3, 2, 2, 1, 3, 1, 2

，可得

θ

的最大似然估计值为（　　）。

答案

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各概率非负要求 $- 1 \leq θ \leq 1$ 。样本中 $1$ 出现 $3$ 次， $2$ 出现 $3$ 次， $3$ 出现 $2$ 次，故

L (θ) = (\frac{1 - θ}{2})^{3} (\frac{1 + θ}{4})^{5} .

两端点的似然均为零，内部为正。对 $- 1 < θ < 1$ ，

ℓ^{'} (θ) = - \frac{3}{1 - θ} + \frac{5}{1 + θ} = \frac{2 - 8 θ}{1 - θ ^{2}} .

分母为正，导数在 $θ < \frac{1}{4}$ 时为正，在 $θ > \frac{1}{4}$ 时为负。因此唯一最大似然估计值为 $\frac{1}{4}$ ，选 A。