1990 · 数学三 · 第 1 题 · 填空题

曲线

{x = cos^{3} t y = sin^{3} t

上对应于

t = \frac{π}{6}

的点处的法线方程是。

答案

$y = 3 x - 1$

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由参数方程得

\frac{d y}{d x} = \frac{3 sin ^{2} t cos t}{- 3 cos ^{2} t sin t} = - tan t

。在 $t = \frac{π}{6}$ 处，切线斜率为 $- \frac{1}{3}$ ，故法线斜率为 $3$ 。

对应点为

(cos^{3} \frac{π}{6}, sin^{3} \frac{π}{6}) = (\frac{3 3}{8}, \frac{1}{8}) .

因此法线为 $y - \frac{1}{8} = 3 (x - \frac{3 3}{8})$ ，即 $y = 3 x - 1$ 。