2005 · 数学三 · 第 9 题 · 选择题

设

a_{n} > 0 (n = 1, 2, \dots)

，若

n = 1 \sum \infty a_{n}

发散，

n = 1 \sum \infty (- 1)^{n - 1} a_{n}

收敛，则下列结论正确的是（　　）。

答案

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交错级数的第 $2 N$ 个部分和为

n = 1 \sum 2 N (- 1)^{n - 1} a_{n} = n = 1 \sum N (a_{2 n - 1} - a_{2 n}) .

原交错级数收敛，所以其偶数项部分和子列也收敛。因此 $n = 1 \sum \infty (a_{2 n - 1} - a_{2 n})$ 收敛，正确选项为 D；选项 C 是已知发散的 $\sum a_{n}$ 。