因为 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，存在非零向量 $v$，使 $Av=\lambda v$。又因 $A$ 可逆，所以 $\lambda \ne 0$。

在 $Av=\lambda v$ 两边左乘 $A^{-1}$，得 $v=\lambda A^{-1}v$，即

由于 $v\ne 0$，故 $\frac{1}{\lambda }$ 是 $A^{-1}$ 的特征值。

可逆矩阵满足

沿用 p1 中的非零特征向量 $v$，由 $A^{-1}v=\frac{1}{\lambda }v$ 得

因此 $\frac{|A|}{\lambda }$ 是伴随矩阵 $A^{\ast }$ 的特征值。