2005 · 数学三 · 第 11 题 · 选择题

以下四个命题中，正确的是（　　）。

A
若 $f^{'} (x)$ 在 $(0, 1)$ 内连续，则 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 内有界
B
若 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 内连续，则 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 内有界
C
若 $f^{'} (x)$ 在 $(0, 1)$ 内有界，则 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 内有界
正确答案
D
若 $f (x)$ 在 $(0, 1)$ 内有界，则 $f^{'} (x)$ 在 $(0, 1)$ 内有界

答案

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若 $f^{'}$ 在 $(0, 1)$ 内有界，设 $∣ f^{'} (x) ∣ \leq M$ ，固定 $x_{0} = \frac{1}{2}$ 。由中值定理， $∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ \leq M ∣ x - x_{0} ∣ \leq \frac{M}{2}$ ，故 $f$ 有界。

其余命题均可反驳： $f (x) = - ln x$ 反驳 A， $f (x) = \frac{1}{x}$ 反驳 B， $f (x) = sin \frac{1}{x}$ 反驳 D（其导数不有界）。

所以正确选项为 C。