令 $F(x)={\int }_a^x(f(t)-g(t))\mathrm{d}t$。题设给出 $F(x)\ge 0$（包括端点的连续延拓），且 $F(a)=F(b)=0$。

由 $F^{\prime }(x)=f(x)-g(x)$ 和分部积分，

因此 ${\int }_a^{b}xf(x)\mathrm{d}x\le {\int }_a^{b}xg(x)\mathrm{d}x$。