2008 · 数学三 · 第 11 题 · 填空题

设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1}

，则

\iint_{D} (x^{2} - y) d x d y =

。

答案

$\frac{π}{4}$

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单位圆盘 $D$ 关于 $x$ 轴对称，所以 $\iint_{D} y d x d y = 0$ 。

在极坐标下，

\iint_{D} x^{2} d x d y = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} r^{2} cos^{2} θ \cdot r d r d θ = \frac{1}{4} \cdot π = \frac{π}{4} .