1990 · 数学一 · 第 17 题 · 解答题

设四阶矩阵

B = 1000 - 1 100 0 - 1 10 00 - 1 1

，

C = 2000120031204312

，且矩阵

A

满足关系式

A (E - C^{- 1} B)^{'} C^{'} = E

，其中

E

为四阶单位矩阵，

C^{- 1}

表示

C

的逆矩阵，

C^{'}

表示

C

的转置矩阵。

答案

$A (C^{'} - B^{'}) = E$

$A = 1 - 2 10 01 - 2 1 001 - 2 0001$

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利用 $(P Q)^{'} = Q^{'} P^{'}$ 与 $(C^{- 1})^{'} = (C^{'})^{- 1}$ ，有

(E - C^{- 1} B)^{'} = E - B^{'} (C^{'})^{- 1} .

因此

(E - C^{- 1} B)^{'} C^{'} = C^{'} - B^{'},

原关系式化简为

A (C^{'} - B^{'}) = E .

由 p1 可得 $A = (C^{'} - B^{'})^{- 1} = [(C - B)^{- 1}]^{'}$ 。先计算

C - B = 1000210032104321 .

直接回代或用初等行变换求得

(C - B)^{- 1} = 1000 - 2 100 1 - 2 10 01 - 2 1 .

故

A = [(C - B)^{- 1}]^{'} = 1 - 2 10 01 - 2 1 001 - 2 0001 .