（1）两个非齐次解之差是齐次解，因此 ${\eta }_2-{\eta }_1,{\eta }_3-{\eta }_1$ 都满足 $Ax=0$。若

则 $-(c_1+c_2){\eta }_1+c_1{\eta }_2+c_2{\eta }_3=0$。由三个已知解线性无关，得 $c_1=c_2=0$，故两个差向量线性无关。
（2）$A$ 有三列，齐次解空间维数为 $3-r(A)$，上一步说明该维数至少为 $2$，故 $r(A)\le 1$。又因原方程非齐次，$\beta \ne 0$，且有解，所以 $A\ne O$，$r(A)\ge 1$。于是 $r(A)=1$，齐次解空间恰为二维，以上两个差向量构成基础解系。
（3）因为 $\frac{A({\eta }_2+{\eta }_3)}{2}=\beta$，平均向量是特解。故通解为

因此选 C。B、D 的首项 $\frac{({\eta }_2-{\eta }_3)}{2}$ 是齐次解，整个表达式代入后为零，不能等于非零的 $\beta$；A 只有一个独立方向，不能覆盖二维齐次解空间。