2020 · 数学一 · 第 18 题 · 解答题

设

Σ

为曲面

z = x^{2} + y^{2} (1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4)

的下侧，

f (x)

是连续函数，计算

I = \iint_{Σ} [x f (x y) + 2 x - y] d y d z + [y f (x y) + 2 y + x] d z d x + [z f (x y) + z] d x d y

。

答案

$\frac{14 π}{3}$

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投影法。记 $r = x^{2} + y^{2}$ ，投影区域为 $D : 1 \leq r \leq 2$ ，曲面上 $z = r$ 。由于 $r \geq 1$ ，曲面光滑， $z_{x} = \frac{x}{r}$ 、 $z_{y} = \frac{y}{r}$ 。取下侧，有向面积元为

n d S = (\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, - 1) d x d y .

把三个系数记为 $P, Q, R$ ，并暂将 $f (x y)$ 简记为 $f$ ，则

\frac{x P + y Q}{r} - R = \frac{( x ^{2} + y ^{2} ) f + 2 ( x ^{2} + y ^{2} ) - x y + x y}{r} - (z f + z) = r f + 2 r - (r f + r) = r .

所以含 $f$ 的项与交叉项分别抵消，无须对仅已知连续的 $f$ 求导。转成极坐标得到

I = \iint_{D} r d x d y = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{1}^{2} r^{2} d r = \frac{14 π}{3} .

先消去抽象函数，再补面用高斯公式。向量场分解为 $f (x y) (x, y, z) + B$ ，其中 $B = (2 x - y, 2 y + x, z)$ 。锥面取下侧，单位法向量为 $\frac{( \frac{x}{r} , \frac{y}{r} , - 1 )}{2}$ ，故

(x, y, z) \cdot n = \frac{\frac{( x ^{2} + y ^{2} )}{r} - z}{2} = 0.

因此第一部分的通量恒为零，原积分等于光滑向量场 $B$ 的通量。
取区域 $Ω : 1 \leq r \leq 2, r \leq z \leq 2$ ，其边界为题给锥面、顶面 $Σ_{2} : z = 2, 1 \leq r \leq 2$ 和内柱面 $Σ_{3} : r = 1, 1 \leq z \leq 2$ 。三片均取外侧：锥面朝下、顶面朝上、内柱面朝向轴线。由 $div B = 5$ ，

V (Ω) I + I_{2} + I_{3} = 2 π \int_{1}^{2} (2 - r) r d r = \frac{4 π}{3}, = 5 V (Ω) = \frac{20 π}{3} .

顶面通量 $I_{2} = 2 \cdot π (4 - 1) = 6 π$ 。内柱面单位法向量为 $(- x, - y, 0)$ ，于是 $B \cdot n = - 2 (x^{2} + y^{2}) = - 2$ ；柱面面积为 $2 π$ ，故 $I_{3} = - 4 π$ 。因此 $I = \frac{20 π}{3} - 6 π + 4 π = \frac{14 π}{3}$ 。