2004 · 数学三 · 第 8 题 · 选择题

设

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内有定义，且

x \to \infty lim f (x) = a

，

g (x) = ⎩ ⎨ ⎧ f (\frac{1}{x}), 0, x \neq = 0; x = 0.

则（　　）。

A
$x = 0$ 必是 $g (x)$ 的第一类间断点
B
$x = 0$ 必是 $g (x)$ 的第二类间断点
C
$x = 0$ 必是 $g (x)$ 的连续点
D
$g (x)$ 在点 $x = 0$ 处的连续性与 $a$ 的取值有关
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答案

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按通常的双向无穷记法，题设 $x \to \infty lim f (x) = a$ 表示当 $∣ x ∣ \to \infty$ 时 $f (x) \to a$ 。因此当 $x \to 0$ 时， $∣ \frac{1}{x} ∣ \to \infty$ ，有 $x \to 0 lim g (x) = a$ 。

由 $g (0) = 0$ ，当 $a = 0$ 时 $g$ 在 $0$ 处连续；当 $a \neq = 0$ 时两侧极限存在且相等，但不等于函数值，故 $0$ 是可去间断点。连续性随 $a$ 的取值而变，选 D。