2021 · 数学一 · 第 9 题 · 选择题

设

(X_{1}, Y_{1}), (X_{2}, Y_{2}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

为来自总体

N (μ_{1}, μ_{2}; σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}; ρ)

的简单随机样本，令

θ = μ_{1} - μ_{2}, X = \frac{1}{n} i = 1 \sum n X_{i}, Y = \frac{1}{n} i = 1 \sum n Y_{i}, θ^= X - Y

，则（　　）。

A
$θ^$ 是 $θ$ 的无偏估计， $D (θ^) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2}}{n}$
B
$θ^$ 不是 $θ$ 的无偏估计， $D (θ^) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2}}{n}$
C
$θ^$ 是 $θ$ 的无偏估计， $D (θ^) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 ρ σ _{1} σ _{2}}{n}$
正确答案
D
$θ^$ 不是 $θ$ 的无偏估计， $D (θ^) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 ρ σ _{1} σ _{2}}{n}$

答案

查看解析展开

由期望的线性性， $E (θ) = E (X) - E (Y) = μ_{1} - μ_{2} = θ$ ，故估计量无偏。
令 $Z_{i} = X_{i} - Y_{i}$ 。不同样本对之间独立，所以 $Z_{i}$ 独立同分布；同一对内部的协方差为 $Cov (X_{i}, Y_{i}) = ρ σ_{1} σ_{2}$ 。因此

D (Z_{i}) D (θ) = D (X_{i}) + D (Y_{i}) - 2 Cov (X_{i}, Y_{i}) = σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2} - 2 ρ σ_{1} σ_{2}, = D (\frac{1}{n} i = 1 \sum n Z_{i}) = \frac{σ _{1}^{2} + σ _{2}^{2} - 2 ρ σ _{1} σ _{2}}{n} .

所以选 C。

同样先由期望的线性性确定无偏，再直接展开方差。不同样本对独立， $i \neq = j$ 时 $Cov (X_{i}, Y_{j}) = 0$ ，故

Cov (X, Y) D (X - Y) = \frac{1}{n ^{2}} i = 1 \sum n j = 1 \sum n Cov (X_{i}, Y_{j}) = \frac{ρ σ _{1} σ _{2}}{n}, = \frac{σ _{1}^{2}}{n} + \frac{σ _{2}^{2}}{n} - \frac{2 ρ σ _{1} σ _{2}}{n} .

这再次得到 C；不能把同一对内的两个分量默认看成独立。