由$\ln (1+t)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n+1}\frac{t^n}{n}$，取$t=x^2$可得$\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^n\frac{x^{2n}}{2n}=-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)$。因此$f(x)=1-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)$。

在$(-1,1)$内$f^{\prime }(x)=-\frac{x}{1+x^2}$：当$x<0$时递增，当$x>0$时递减，所以$x=0$处取得最大值$f(0)=1$。

当$x\to \pm 1$时$f(x)\to 1-\frac{1}{2}\ln 2$，但$|x|<1$不含端点，因此给定区间内没有最小值，该数只是下确界。