由 $AP=PB$ 且 $P$ 可逆，得 $A=PB{P}^{-1}$。计算得

于是

由 $A=PB{P}^{-1}$，有 $A^5=P{B}^5{P}^{-1}$。矩阵 $B=\mathrm{diag}(1,0,-1)$，故 $B^5=B$。

因此

。