2019 · 数学一 · 第 23 题 · 解答题

设总体

X

的概率密度为

f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{A}{σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}, 0, x \geq μ x < μ

，其中

μ

是已知参数，

σ

是未知参数，

A

是常数，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

是来自总体

X

的简单随机样本。

(1) 求常数 $A$ 的值；
(2) 求 $σ^{2}$ 的最大似然估计量。

答案

第 1 问

$A = \frac{2}{π}$ 。

第 2 问

$σ^{2} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n (X_{i} - μ)^{2}$ 。

查看解析展开

第 1 问

由密度归一性，令 $t = \frac{( x - μ )}{σ}$ ，得

1 = \int_{μ}^{\infty} \frac{A}{σ} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{( 2 σ ^{2} )}} d x = A \int_{0}^{\infty} e^{- \frac{t ^{2}}{2}} d t = A \frac{π}{2} .

所以 $A = \frac{2}{π}$ 。

第 2 问

令 $v = σ^{2} > 0$ ， $Q = i = 1 \sum n (x_{i} - μ)^{2}$ 。可行样本满足 $x_{i} \geq μ$ ，此支撑条件不含未知参数 $v$ 。似然为 $L (v) = A^{n} v^{- \frac{n}{2}} e^{- \frac{Q}{( 2 v )}}$ ，故

ℓ (v) = n ln A - \frac{n}{2} ln v - \frac{Q}{2 v}, ℓ^{'} (v) = \frac{Q - n v}{2 v ^{2}} .

当 $Q > 0$ 时，在 $v = \frac{Q}{n}$ 前导数为正、之后为负，故 $σ^{2} = \sum \frac{( X _{i} - μ ) ^{2}}{n}$ 。 $Q = 0$ 是零概率事件，此时正参数空间无最大值，可在此处将估计量延拓为零。